【題目】已知定義在區(qū)間上的函數(shù),.

(Ⅰ)證明:當時,

(Ⅱ)若曲線過點的切線有兩條,求實數(shù)的取值范圍.

【答案】(1)見證明;(2)

【解析】

1)利用導數(shù)求得函數(shù)單調(diào)性,可證得;(2)利用假設切點的方式寫出切線方程,原問題轉(zhuǎn)化為方程上有兩個解;此時可采用零點存在定理依次判斷零點個數(shù),得到范圍,也可以先利用分離變量的方式,構(gòu)造新的函數(shù),然后討論函數(shù)圖像,得到范圍.

(1)證明:時,

上遞減,在上遞增

(2)當時,,,明顯不滿足要求;

時,設切點為(顯然),則有

,整理得

由題意,要求方程在區(qū)間上有兩個不同的實數(shù)解

①當時,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減或先單調(diào)遞減再遞增

,,

在區(qū)間上有唯一零點,在區(qū)間上無零點,

所以此時不滿足題要求.

②當時, 上單調(diào)遞增

不滿足在區(qū)間上有兩個不同的實數(shù)解

③當時,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

,

在區(qū)間上有唯一零點,所以此時不滿足題要求.

④當時,上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

,,

時,在區(qū)間上有唯一零點,此時不滿足題要求.

時,在區(qū)間上各有一個零點

設零點為,又這時顯然在區(qū)間上單調(diào)遞減

,此時滿足題目要求.

綜上所述,的取值范圍是

(2)解法二:設切點為

由解法一的關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有兩解

顯然不是方程的解

故原問題等價于在區(qū)間內(nèi)有兩解

,

,

,則

;

,

;,

從而遞增,,遞減

,

由于,

,;,

時,時,

在區(qū)間內(nèi)有兩解

解得:

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(1)試求函數(shù)的極值點的個數(shù);

(2)若,恒成立,求的最大值.

參考數(shù)據(jù):

1.6

1.7

1.74

1.8

10

4.953

5.474

5.697

6.050

22026

0.470

0.531

0.554

0.558

2.303

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)

(1)討論的單調(diào)性;

(2)若,求證:當時,

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某市春節(jié)期間7家超市的廣告費支出(萬元)和銷售額(萬元)數(shù)據(jù)如下:

超市

A

B

C

D

E

F

G

廣告費支出

1

2

4

6

11

13

19

銷售額

19

32

40

44

52

53

54

參數(shù)數(shù)據(jù)及公式:,,,,,.

1)若用線性回歸模型擬合yx的關(guān)系,求y關(guān)于x的線性回歸方程;

2)用對數(shù)回歸模型擬合yx的關(guān)系,可得回歸方程:,經(jīng)計算得出線性回歸模型和對數(shù)模型的分別約為0.750.97,請用說明選擇哪個回歸模型更合適,并用此模型預測A超市廣告費支出為8萬元時的銷售額.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知,命題對任意,不等式成立;命題存在,使得成立.

1)若p為真命題,求m的取值范圍;

2)若pq為假,pq為真,求m的取值范圍;

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在極坐標系中,曲線的方程為,以極點為原點,極軸所在直線為軸建立直角坐標,直線的參數(shù)方程為為參數(shù)),交于,兩點.

(1)寫出曲線的直角坐標方程和直線的普通方程;

(2)設點;若、成等比數(shù)列,求的值

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知直線上有一動點,過點作直線垂直于軸,動點上,且滿足為坐標原點),記點的軌跡為曲線.

(1)求曲線的方程;

(2)已知定點,為曲線上一點,直線交曲線于另一點,且點在線段上,直線交曲線于另一點,求的內(nèi)切圓半徑的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】為了了解一個小水庫中養(yǎng)殖的魚的有關(guān)情況,從這個水庫中多個不同位置捕撈出100條魚,稱得每條魚的質(zhì)量(單位:kg),并將所得數(shù)據(jù)分組,畫出頻率分布直方圖(如圖所示).

1)在下面表格中填寫相應的頻率;

分組

頻率

2)估計數(shù)據(jù)落在中的概率;

3)將上面捕撈的100條魚分別作一記分組頻率號后再放回水庫.幾天后再從水庫的多處不同位置捕撈出120條魚,其中帶有記號的魚有6條.請根據(jù)這一情況來估計該水庫中魚的總條數(shù).

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】中,角,所對的邊分別為,,,且,則下列結(jié)論正確的是( )

A.B.是鈍角三角形

C.的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的D.,則外接圓半徑為

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