Question

13．關(guān)于曲線C：${x^{\frac{2}{3}}}+{y^{\frac{2}{3}}}=1$，給出下列四個(gè)命題：
A．曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱        B．曲線C有且只有兩條對(duì)稱軸
C．曲線C的周長(zhǎng)l滿足$l≥4\sqrt{2}$   D．曲線C上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為$\frac{1}{2}$
上述命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 利用曲線方程的特點(diǎn)結(jié)合曲線的圖象分別進(jìn)行判斷即可．

解答 解：把曲線C中的（x，y ）同時(shí)換成（-x，-y ），方程不變，∴曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即A正確；
曲線方程為${x^{\frac{2}{3}}}+{y^{\frac{2}{3}}}=1$，交換x，y的位置后曲線方程不變，∴曲線C關(guān)于直線y=x對(duì)稱，同理，y=-x，x，y軸是曲線的對(duì)稱軸，即B不正確；
在第一象限內(nèi)，因?yàn)辄c(diǎn)（$\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{4}$）在曲線上，由圖象可知曲線在直線y=-x+1的下方，且為凹函數(shù)如圖：
由以上分析可知曲線C的周長(zhǎng)l滿足$l≥4\sqrt{2}$，正確．
曲線C上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為（$\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{4}$）到原點(diǎn)的距離，為$\frac{1}{2}$，即D正確．
真命題有3個(gè)，故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查曲線方程的性質(zhì)的判斷和推理，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，綜合性較強(qiáng)難度較大．