Question

6．下列四種說(shuō)法：
①函數(shù)y=$\frac{{x}^{2}-x+4}{x-1}（x＞1）$的最小值為5；
②等差數(shù)列{a_n}中，a₁，a₃，a₄成等比數(shù)列，則公比為$\frac{1}{2}$；
③已知a＞0，b＞0，a+b=1，則$\frac{2}{a}+\frac{3}$的最小值為5+2$\sqrt{6}$；
④在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知平面區(qū)域A={（x，y）|x+y≤1，x≥0，y≥0}，則平面區(qū)域B={（x+y，x-y）|（x，y）∈A}的面積是1．
其中正確的命題為①③④（填上所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

分析 把函數(shù)解析式變形，利用基本不等式求出函數(shù)的最值判斷①；
運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的性質(zhì)，即可求得公比，進(jìn)而判斷②；
運(yùn)用1的代換，化簡(jiǎn)整理運(yùn)用基本不等式即可求得最小值，即可判斷③；
首先利用換元法設(shè)出區(qū)域B內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)區(qū)域A內(nèi)點(diǎn)的約束條件求出區(qū)域B內(nèi)點(diǎn)的約束條件，然后畫出其可行域，最后由三角形面積公式求得面積判斷④．

解答 解：①函數(shù)y=$\frac{{x}^{2}-x+4}{x-1}（x＞1）$=$\frac{（x-1）^{2}+（x-1）+4}{x-1}$=$（x-1）+\frac{4}{x-1}+1$$≥2\sqrt{（x-1）•\frac{4}{x-1}}+1=5$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí)上式等號(hào)成立，∴函數(shù)y=$\frac{{x}^{2}-x+4}{x-1}（x＞1）$的最小值為5，則①正確；
②等差數(shù)列{a_n}中，a₁，a₃，a₄成等比數(shù)列，則有a₃²=a₁a₄，即有（a₁+2d）²=a₁（a₁+3d），
解得a₁=-4d或d=0，則公比為$\frac{{a}_{3}}{{a}_{1}}$=1或$\frac{1}{2}$，則②錯(cuò)誤；
等差數(shù)列{a_n}中，a₁，a₃，a₄成等比數(shù)列，則公比為$\frac{1}{2}$；
③由于a＞0，b＞0，a+b=1，則$\frac{2}{a}+\frac{3}$=（a+b）（$\frac{2}{a}+\frac{3}$）=5+$\frac{2b}{a}+\frac{3a}$≥5+2$\sqrt{\frac{2b}{a}•\frac{3a}}$=5+2$\sqrt{6}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\sqrt{2}$b=$\sqrt{3}$a時(shí)取得最小值，且為5+2$\sqrt{6}$，則③正確；
④設(shè)$\left\{\begin{array}{l}{x′=x+y}\\{y′=x-y}\end{array}\right.$，則$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{x′+y′}{2}}\\{y=\frac{x′-y′}{2}}\end{array}\right.$，又x+y≤1，且x≥0，y≥0，
解得x′≤1，x′+y′≥0，x′-y′≥0，即x≤1，x+y≥0，x-y≥0．
畫出可行域，如圖所示
解得A（1，1）、B（1，-1），
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$×2×1=1，即平面區(qū)域B的面積為1，則④正確．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)和性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題，也是易錯(cuò)題．