Question

（本小題滿分12分）

已知等比數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，且 2a₁ + 3a₂ = 1， = 9a₂a₆．

(Ⅰ) 求數(shù)列{a_n}的通項公式；

（Ⅱ）設(shè) b_n= log₃a₁ + log₃a₂ + … + log₃a_n，求的前n項和T_n ；

（Ⅲ）在(Ⅱ)的條件下，求使  ≥ (7 − 2n)T_n恒成立的實數(shù) k 的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）．（Ⅱ）前 n 項和為 − ．（Ⅲ）

【解析】

試題分析：(1)根據(jù)2a₁ + 3a₂ = 1， = 9a₂a₆．可建立關(guān)于a₁和q的方程求出a₁和q的值，從而得到{a_n}的通項公式.

(2)再（1）的基礎(chǔ)上根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)可得，因而可得 = −2,顯然采用疊加求和的方法求和.

（3）可令,采用作差法求的最大值，從而求出k的范圍.

（Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公比為(q > 0 )，

由  得，．

故數(shù)列的通項公式為．

（Ⅱ ）b_n = log₃a₁ + log₃a₂ + … + log₃a_n = −

  故  = −2

T_n =  +  +  + … +

          = −2 = −   

所以數(shù)列  的前 n 項和為 − ．

（Ⅲ ）化簡得對任意恒成立

設(shè)，則

當(dāng)為單調(diào)遞減數(shù)列，

為單調(diào)遞增數(shù)列，

所以，n=5時，取得最大值為．

所以, 要使對任意恒成立，

考點：考查了等比數(shù)列的通項、數(shù)列求和、不等式恒成立等知識.

點評：掌握等差等比數(shù)列的通項及性質(zhì)以及常用數(shù)列求和的方法是求解此類問題的關(guān)鍵.