Question

15．已知：如圖，⊙O是正方形ABCD的外接圓，P是$\widehat{AB}$上的一點(diǎn)，求證：$\frac{PA+PC}{PB+PD}$=$\frac{PD}{PC}$．

Answer 1

分析 連接AC交DP于E，證明：$\frac{PC+PA}{PD}$=$\frac{AE+CE}{DC}$=$\frac{AC}{DC}$=$\sqrt{2}$，$\frac{PB+PD}{PC}$=$\sqrt{2}$，即可證明結(jié)論．

解答 證明：連接AC交DP于E
∵ABCD是正方形，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{DC}$，
∴∠APE=∠DPC，
∵∠PAE=∠PDC
∴△PAE∽△PDC
∴$\frac{PA}{PD}=\frac{AE}{DC}$①
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{DC}$，
∴∠ECD=∠DPC
∵∠EDC=∠CDP
∴△EDC∽△CDP
∴$\frac{DC}{PD}$=$\frac{CE}{PC}$，
∴$\frac{PC}{PD}=\frac{CE}{DC}$②
①+②得：$\frac{PC+PA}{PD}$=$\frac{AE+CE}{DC}$=$\frac{AC}{DC}$=$\sqrt{2}$．
同理$\frac{PB+PD}{PC}$=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{PC+PA}{PD}$=$\frac{PB+PD}{PC}$，
∴$\frac{PA+PC}{PB+PD}$=$\frac{PD}{PC}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形相似的判定與性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．