Question

5．已知函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sin²（$\frac{π}{4}$+x）+2cos²x-$\sqrt{3}$．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式、和差公式可得f（x）=2$sin（2x+\frac{π}{6}）$．即可得出函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得$（2x+\frac{π}{6}）$∈$[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性與值域可得sin$（2x+\frac{π}{6}）$∈$[-\frac{1}{2}，1]$，即可得出．

解答 解：（1）f（x）=2$\sqrt{3}$sin²（$\frac{π}{4}$+x）+2cos²x-$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}（1-cos（\frac{π}{2}+2x））$+1+cos2x-$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}sin2x$+cos2x=2$sin（2x+\frac{π}{6}）$．
∴$T=\frac{2π}{2}$=π，
由$2kπ-\frac{π}{2}$≤$2x+\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得$kπ-\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[$kπ-\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$+kπ]，k∈Z．
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴$（2x+\frac{π}{6}）$∈$[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$，
∴sin$（2x+\frac{π}{6}）$∈$[-\frac{1}{2}，1]$，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的值域為[-1，2]．

點評 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)恒等變換，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．