Question

7．若數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：存在正整數(shù)T，對(duì)于任意正整數(shù)n都有a_n+T=a_n成立，則稱(chēng)數(shù)列{a_n}為周期數(shù)列，周期為T(mén)．已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}-1．{a}_{n}＞1}\\{\frac{1}{{a}_{n}}，0＜{a}_{n}≤1}\end{array}\right.$a₁=m（m＞0），有以下結(jié)論：
①若m=$\frac{4}{5}$，則a₃=3；
②若a₃=2，則m可以取3個(gè)不同的值；
③若m=$\sqrt{2}$，則{a_n}是周期為3的數(shù)列；
④存在m∈Q且m≥2，數(shù)列{a_n}是周期數(shù)列．
其中正確結(jié)論的序號(hào)是②③．

Answer 1

分析 對(duì)于①，直接代值，根據(jù)數(shù)列的遞推公式關(guān)系即可求出，
對(duì)于②，由a₃=2，分類(lèi)討論即可求出m的值，
對(duì)于③由②可知正確m=$\sqrt{2}$＞1，所以數(shù)列{a_n}是周期為3的數(shù)列，
對(duì)于④，利用反證法，假設(shè)存在m∈Q且m≥2，使得數(shù)列{a_n}是周期數(shù)列，得出假設(shè)不正確．

解答 解：對(duì)于①，當(dāng)m=$\frac{4}{5}$時(shí)，a₂=$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{5}{4}$，a₃=a₂-1=$\frac{5}{4}$-1=$\frac{1}{4}$，故①為不正確，
對(duì)于②由a₃=2，若a₃=a₂-1=2，則a₂=3，若a₁-1=3，則a₁=4．
若a₁=3，則$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{3}$．
由a₃=2，若a₃=$\frac{1}{{a}_{2}}$，則a₂=$\frac{1}{2}$，若a₁-1=$\frac{1}{2}$，則a₁=$\frac{3}{2}$．
若$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，則a₁=2，不合題意．
所以，a₃=2時(shí)，m即a₁的不同取值有3個(gè)．故②正確，
對(duì)于③，m=$\sqrt{2}$＞1，所以數(shù)列{a_n}是周期為3的數(shù)列，所以③正確；
對(duì)于④，假設(shè)存在m∈Q且m≥2，使得數(shù)列{a_n}是周期數(shù)列．則當(dāng)m=2時(shí)，a₂=a₁-1=1，∴a₃=$\frac{1}{{a}_{2}}$=…=a_n（n≥2），此時(shí)數(shù)列{a_n}不是周期數(shù)列．
當(dāng)m＞2時(shí)，當(dāng)0＜m-k≤1時(shí)，a_k+1=a₁-k=m-k．∴a_k+2=$\frac{1}{{a}_{k+1}}$=$\frac{1}{m-k}$＞1．若a_k+2=a_i，1≤i≤k+1，則$\frac{1}{m-k}$=m-（i-1），化為m²-m（k+i-1）+ki-k-1=0，則△=（k+i-1）²-4（ki-k-1）不為平方數(shù)，因此假設(shè)不正確．可知④不正確．
綜上可知：只有②③正確
故答案為：②③

點(diǎn)評(píng) 本題考查了簡(jiǎn)單的合情推理，考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，訓(xùn)練了學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題．