Question

2．設(shè)點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)（不包括邊界），且$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$（m、n∈R），則m²+（n-2）²的取值范圍是（　�。�

• A． （1，$\sqrt{5}$）
• B． （1，5）
• C． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$，5）
• D． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{5}$）

Answer 1

分析 根據(jù)題意可得m、n滿足的不等式組，在mon坐標(biāo)系內(nèi)作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離是即可得到結(jié)論．

解答 解：∵點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部，$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{n＞0}\\{m+n＜1}\end{array}\right.$，
∵在直角坐標(biāo)系mon內(nèi)，m²+（n-2）²表示平面區(qū)域$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{n＞0}\\{m+n＜1}\end{array}\right.$內(nèi)的點(diǎn)（m，n）到點(diǎn)（0，2）的距離的平方．
∴數(shù)形結(jié)合知（0，2）到（0，1）的距離最小，到（1，0）的距離最大
∴最小距離為1，最大距離為$\sqrt{（0-1）^{2}+（2-0）^{2}}$=$\sqrt{5}$
∴m²+（n-2）²的取值范圍是 （1，5），
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，以平面向量為載體，求（m-1）²+（n-1）²+1的取值范圍．著重考查了向量的線性運(yùn)算、二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和點(diǎn)到直線的距離公式等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度較大．