15．在數(shù)列{an}中，若a1=2，$\frac{{{3^{{a_{n+1}}}}}}{{{3^{a_n}}}}$=1+$\frac{1}{n}$，則a9=4．

分析 把已知數(shù)列遞推式變形，然后利用累積法結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)求解．

解答 解：由$\frac{{{3^{{a_{n+1}}}}}}{{{3^{a_n}}}}$=1+$\frac{1}{n}$，得${3}^{{a}_{n+1}-{a}_{n}}=1+\frac{1}{n}$，
∴${a}_{n+1}-{a}_{n}=lo{g}_{3}（1+\frac{1}{n}）$，
又a1=2，
∴a9=（a9-a8）+（a8-a7）+…+（a2-a1）+a1
=$lo{g}_{3}（1+\frac{1}{8}）+lo{g}_{3}（1+\frac{1}{7}）+…+lo{g}_{3}（1+\frac{1}{1}）+2$
=$lo{g}_{3}（\frac{9}{8}×\frac{8}{7}×…×\frac{2}{1}）+2$=log39+2=4．
故答案為：4．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，訓練了累積法求數(shù)列的通項公式，是中檔題．

練習冊系列答案
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②若a3=2，則m可以取3個不同的值；
③若m=$\sqrt{2}$，則{an}是周期為3的數(shù)列；
④存在m∈Q且m≥2，數(shù)列{an}是周期數(shù)列．
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