【題目】如圖，射線和均為筆直的公路，扇形區(qū)域（含邊界）是一蔬菜種植園，其中、分別在射線和上.經(jīng)測(cè)量得，扇形的圓心角（即）為、半徑為1千米.為了方便菜農(nóng)經(jīng)營(yíng)，打算在扇形區(qū)域外修建一條公路，分別與射線、交于、兩點(diǎn)，并要求與扇形弧相切于點(diǎn).設(shè)（單位：弧度），假設(shè)所有公路的寬度均忽略不計(jì).

（1）試將公路的長(zhǎng)度表示為的函數(shù)，并寫(xiě)出的取值范圍；

（2）試確定的值，使得公路的長(zhǎng)度最小，并求出其最小值.

【答案】⑴，其中，⑵當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)度的最小值為千米..

【解析】試題分析：

⑴由切線的性質(zhì)可得OS⊥MN.則SM=，SN=， 據(jù)此可得，其中.

⑵ 利用換元法，令，則， 由均值不等式的結(jié)論有：，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，即長(zhǎng)度的最小值為千米.

試題解析：

⑴因?yàn)?/span>MN與扇形弧PQ相切于點(diǎn)S，所以OS⊥MN.

在OSM中，因?yàn)?/span>OS=1，∠MOS=，所以SM=，

在OSN中，∠NOS=，所以SN=，

所以，

其中.

⑵ 因?yàn)?/span>，所以，

令，則，

所以，

由基本不等式得，

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“=”.

此時(shí)，由于，故.

答：⑴，其中.

⑵當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)度的最小值為千米.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖．空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染．某人隨機(jī)選擇3月1日至3月13日中的某一天到達(dá)該市，并停留2天．

（Ⅰ）求此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染的概率；

（Ⅱ）設(shè)X是此人停留期間空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（Ⅲ）由圖判斷從哪天開(kāi)始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？（結(jié)論不要求證明）

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【題目】經(jīng)過(guò)中央電視臺(tái)《魅力中國(guó)城》欄目的三輪角逐，黔東南州以三輪競(jìng)演總分排名第一名問(wèn)鼎“最具人氣魅力城市”.如圖統(tǒng)計(jì)了黔東南州從2010年到2017年的旅游總?cè)藬?shù)（萬(wàn)人次）的變化情況，從一個(gè)側(cè)面展示了大美黔東南的魅力所在.根據(jù)這個(gè)圖表，在下列給出的黔東南州從2010年到2017年的旅游總?cè)藬?shù)的四個(gè)判斷中，錯(cuò)誤的是（ ）

A. 旅游總?cè)藬?shù)逐年增加

B. 2017年旅游總?cè)藬?shù)超過(guò)2015、2016兩年的旅游總?cè)藬?shù)的和

C. 年份數(shù)與旅游總?cè)藬?shù)成正相關(guān)

D. 從2014年起旅游總?cè)藬?shù)增長(zhǎng)加快

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】【2018屆寧夏育才中學(xué)高三上學(xué)期期末】某公司為了解廣告投入對(duì)銷(xiāo)售收益的影響，在若干地區(qū)各投入萬(wàn)元廣告費(fèi)用，并將各地的銷(xiāo)售收益繪制成頻率分布直方圖（如圖所示），由于工作人員操作失誤，橫軸的數(shù)據(jù)丟失，但可以確定橫軸是從開(kāi)始計(jì)數(shù)的.

（1）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算圖中各小長(zhǎng)方形的寬度；

（2）試估計(jì)該公司投入萬(wàn)元廣告費(fèi)用之后，對(duì)應(yīng)銷(xiāo)售收益的平均值（以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的取值）；

（3）該公司按照類(lèi)似的研究方法，測(cè)得另外一些數(shù)據(jù)，并整理得到下表：

由表中的數(shù)據(jù)顯示， 與之間存在著線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)將（2）的結(jié)果填入空白欄，并求出關(guān)于的回歸直線方程.

參考公式：

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【題目】【2018屆北京市海淀區(qū)】如圖，三棱柱側(cè)面底面，

， 分別為棱的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證： ；

（Ⅱ）求三棱柱的體積；

（Ⅲ）在直線上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由.

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【題目】揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)系有6名大學(xué)生要去甲、乙兩所中學(xué)實(shí)習(xí)，每名大學(xué)生都被隨機(jī)分配到兩所中學(xué)的其中一所.

（1）求6名大學(xué)生中至少有1名被分配到甲學(xué)校實(shí)習(xí)的概率；

（2）設(shè)，分別表示分配到甲、乙兩所中學(xué)的大學(xué)生人數(shù)，記，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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【題目】某快餐代賣(mài)店代售多種類(lèi)型的快餐，深受廣大消費(fèi)者喜愛(ài).其中，種類(lèi)型的快餐每份進(jìn)價(jià)為元，并以每份元的價(jià)格銷(xiāo)售.如果當(dāng)天20:00之前賣(mài)不完，剩余的該種快餐每份以元的價(jià)格作特價(jià)處理，且全部售完.

（1）若該代賣(mài)店每天定制份種類(lèi)型快餐，求種類(lèi)型快餐當(dāng)天的利潤(rùn)（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量（單位：份，）的函數(shù)解析式；

（2）該代賣(mài)店記錄了一個(gè)月天的種類(lèi)型快餐日需求量（每天20:00之前銷(xiāo)售數(shù)量）

日需求量

天數(shù)

（i）假設(shè)代賣(mài)店在這一個(gè)月內(nèi)每天定制份種類(lèi)型快餐，求這一個(gè)月種類(lèi)型快餐的日利潤(rùn)（單位：元）的平均數(shù)（精確到）；

（ii）若代賣(mài)店每天定制份種類(lèi)型快餐，以天記錄的日需求量的頻率作為日需求量發(fā)生的概率，求種類(lèi)型快餐當(dāng)天的利潤(rùn)不少于元的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某地一商場(chǎng)記錄了月份某天當(dāng)中某商品的銷(xiāo)售量（單位：）與該地當(dāng)日最高氣溫（單位：）的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表：

（1）試求與的回歸方程；

（2）判斷與之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；若該地月某日的最高氣溫是，試用所求回歸方程預(yù)測(cè)這天該商品的銷(xiāo)售量；

（3）假定該地月份的日最高氣溫，其中近似取樣本平均數(shù)，近似取樣本方差，試求.

附：參考公式和有關(guān)數(shù)據(jù)，，，若，則，且.

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