Question

已知函數(shù)f（x）=-

1

x+2

，x∈[-5，-3]．
（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并證明；
（2）求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明單調(diào)性；
（2）結(jié)合（1）求解最大值和最小值．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=-

1

x+2

，在區(qū)間[-5，-3]上為增函數(shù)．
證明如下：
任設(shè)x₁，x₂?[-5，-3]，且x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=

1

x2+2

-

1

x1+2

=

x1-x2

(x2+2)(x1+2)

∵x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，
∵x₁＜x₂≤-3，
∴（x₂+2）（x₁+2）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴函數(shù)f（x）=-

1

x+2

，在區(qū)間[-5，-3]上為增函數(shù)．
（2）根據(jù)（1）得
函數(shù)f（x）的最小值為f（-5）=

1

3

最大值為：f（-3）=1．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了函數(shù)的單調(diào)性及其證明，單調(diào)性在求解函數(shù)最值中的應(yīng)用等知識(shí)，屬于中檔題．