Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=1-na_n（n∈N^*）．
（1）計(jì)算a₁，a₂，a₃，a₄；猜想a_n的表達(dá)式．
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,歸納推理

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）利用已知條件通過n=1，2，3，4，分別求出a₁，a₂，a₃，a₄；然后猜想a_n的表達(dá)式．
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟，證明猜想的正確性即可．

解答： 解：（1）依題設(shè)S_n=1-na_n可得a1=

1

2

=

1

1×2

，
a2=

1

6

=

1

2×3

，
a3=

1

12

=

1

3×4

，
a4=

1

20

=

1

4×5

；
猜想：an=

1

n(n+1)

．
（2）證明：①當(dāng)n=1時(shí)，猜想顯然成立．   
②假設(shè)n=k（k∈N^*）時(shí)，猜想成立，
即ak=

1

k(k+1)

．  
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，S_k+1=1-（k+1）a_k+1，
即S_k+a_k+1=1-（k+1）a_k+1． 又Sk=1-kak=

k

k+1

，
所以

k

k+1

+ak+1=1-(k+1)ak+1，
從而ak+1=

1

(k+1)(k+2)

=

1

(k+1)[(k+1)+1]

．
即n=k+1時(shí)，猜想也成立．       
故由①和②，可知猜想成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力以及邏輯推理能力．