【題目】已知A、B、C、D是函數(shù)y=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<)一個周期內的圖象上的四個點,如圖所示,A(﹣ , 0),B為y軸的點,C為圖象上的最低點,E為該函數(shù)圖象的一個對稱中心,B與D關于點E對稱,在x軸方向上的投影為
(1)求函數(shù)f(x)的解析式及單調遞減區(qū)間;
(2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移得到函數(shù)g(x)的圖象,已知g(α)= , α∈(﹣ , 0),求g(α+)的值.

【答案】解:(1)∵如圖所示,A(﹣,0),B為y軸上的點,C為圖象上的最低點,E為該函數(shù)圖象的一個對稱中心,B與D關于點E對稱,在x軸上的投影為,
∴根據(jù)對稱性得出:最大值點的橫坐標為,
=+,T=π,
∵T=
∴ω=2,
∵A(﹣,0)在函數(shù)圖象上,
∴sin(﹣+φ)=0,解得:﹣+φ=kπ,k∈z,可得:φ=kπ+,k∈z,
∴φ=,故可得函數(shù)f(x)的解析式為:y=sin(2x+).
∴由2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈Z即可解得單調遞減區(qū)間為:[kπ+,kπ+],k∈Z.
(2)∵由題意可得:g(x)=f(x+)=sin[2(x+)+]=sin(2x+)=cos2x.
∴g(α)=cos2α=
∵α∈(﹣,0),
∴2α∈(﹣,0),可得sin2α=﹣,
∴g(α+)=cos(2α+)=cos2αcos﹣sin2αsin=x﹣(﹣)×=
【解析】(1)根據(jù)函數(shù)想性質得出最大值點的橫坐標為 , A(﹣ , 0),得出周期T=π,T= , 即可ω,運用A(﹣ , 0),sin(﹣+φ)=0,得出φ=kπ+ , k∈z,即可求解函數(shù)解析式,由2kπ+≤2x+≤2kπ+ , k∈Z即可解得單調遞減區(qū)間.
(2)利用函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換可求g(x),結合角的范圍可求cos2α,sin2α,利用兩角和的余弦函數(shù)公式即可求值。
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換的相關知識點,需要掌握圖象上所有點向左(右)平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象;再將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長(縮短)到原來的倍(縱坐標不變),得到函數(shù)的圖象;再將函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標伸長(縮短)到原來的倍(橫坐標不變),得到函數(shù)的圖象才能正確解答此題.

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