Question

8．以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線命題：
①“曲線ax²+by²=1為橢圓”的充分不必要條件是“a＞0，b＞0”；
②若雙曲線的離心率e=2，且與橢圓$\frac{{y}^{2}}{24}$+$\frac{{x}^{2}}{8}$=1有相同的焦點(diǎn)，則該雙曲線的漸近線方程為y=±$\sqrt{3}$x；
③拋物線x=-2y²的準(zhǔn)線方程為x=$\frac{1}{8}$；
 ④長(zhǎng)為6的線段AB的端點(diǎn)A，B分別在x、y軸上移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)M（x，y）滿足$\overrightarrow{AM}$=2$\overrightarrow{MB}$，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為
$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1．
其中正確命題的序號(hào)為③④．

Answer 1

分析 由橢圓方程的特點(diǎn)，可得a＞0，b＞0，且a≠b，結(jié)合充分必要條件的定義，即可判斷①；
求出橢圓的焦點(diǎn)可得雙曲線的c，由離心率公式可得a，由a，b，c的關(guān)系可得b，進(jìn)而得到雙曲線的漸近線方程，即可判斷②；
將拋物線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由準(zhǔn)線方程，即可判斷③；
設(shè)設(shè)A（a，0），B（0，b），由向量共線的坐標(biāo)表示，求得a，b，代入兩點(diǎn)的距離公式，化簡(jiǎn)整理可得M的方程，即可判斷④．

解答 解：①曲線ax²+by²=1為橢圓可得a＞0，b＞0，且a≠b，
則“曲線ax²+by²=1為橢圓”的必要不充分條件是“a＞0，b＞0”，故①錯(cuò)；
②若雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=2，且與橢圓$\frac{{y}^{2}}{24}$+$\frac{{x}^{2}}{8}$=1有相同的焦點(diǎn)，即有c=$\sqrt{24-8}$=4，a=2，b=$\sqrt{16-4}$=2$\sqrt{3}$，
可得雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x即為y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，故②錯(cuò)；
③拋物線x=-2y²的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=-$\frac{1}{2}$x，準(zhǔn)線方程為x=$\frac{1}{8}$，故③正確；
 ④長(zhǎng)為6的線段AB的端點(diǎn)A，B分別在x、y軸上移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)M（x，y）滿足$\overrightarrow{AM}$=2$\overrightarrow{MB}$，
可設(shè)A（a，0），B（0，b），即有x-a=2（-x），y=2（b-y），可得a=3x，b=$\frac{3}{2}$y，由|AB|=6，可得a²+b²=36，
即有$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，故④正確．
故答案為：③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷，主要是圓錐曲線的方程和性質(zhì)，考查漸近線方程和準(zhǔn)線方程，以及軌跡方程的求法，注意運(yùn)用代入法，同時(shí)考查向量共線的坐標(biāo)表示，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．