Question

函數(shù)f（x）=x²+（4a-4）x+a²-8a+4（x∈R），g（x）與f（x）圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)．
（Ⅰ）求g（x）解析式；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)h（x）=2x³+3ag（x），如果h（x）在開(kāi)區(qū)間（0，1）上存在極小值，求a的取值范圍；
（Ⅲ）若關(guān)于x的不等式g（x）≥x+a²-5a+11在區(qū)間[0，2]有解，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)解析式的求解及常用方法,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）設(shè)出y=g（x）上任一點(diǎn)P（x，y），求出P關(guān)于x=1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′，代入y=f（x）中，化簡(jiǎn)得g（x）；
（Ⅱ）根據(jù)h（x）求出導(dǎo)數(shù)h′（x），利用h′（x）判定函數(shù)的單調(diào)性與極值，從而求出a的取值范圍；
（Ⅲ）根據(jù)題意，把不等式轉(zhuǎn)化為求函數(shù)u（x）=x²-（4a+1）x+5a-11，在x∈[0，2]時(shí)的最值問(wèn)題，由此求出a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)P（x，y）為y=g（x）上任一點(diǎn)，
∵y=g（x）與y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，
∴P（x，y）關(guān)于x=1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′（2-x，y）落在y=f（x）的圖象上；
又∵f（x）=x²+（4a-4）x+a²-8a+4，（x∈R），
∴y=（2-x）²-（4a-4）（x-2）+a²-8a+4；
∴g（x）=x²-4ax+a²，（x∈R）；
（Ⅱ）h（x）=2x³+3ax²-12a²x+3a³，
∴h′（x）=6x²+6ax-12a²；
令h′（x）=0，得6x²+6ax-12a²=0，
解得x=-2a，或x=a；
∵h(yuǎn)（x）在（0，1）上存在極小值，
∴h′（x）在（0，1）上一定存在零點(diǎn)，
①當(dāng)a＞0時(shí)，列表如下，

∴0＜a＜1；
②當(dāng)a＜0時(shí)，列表如下，

∴0＜-2a＜1，即-

1

2

＜a＜0；
③當(dāng)a=0時(shí)，不存在極小值；
綜上，-

1

2

＜a＜0，或0＜a＜1；
（Ⅲ）g（x）≥x+a²-5a+11在區(qū)間[0，2]上有解，
即x²-（4a+1）x+5a-11≥0在區(qū)間[0，2]上有解；
設(shè)u（x）=x²-（4a+1）x+5a-11，x∈[0，2]，
則本題等價(jià)于[u（x）]_max≥0；
現(xiàn)求u（x）的最大值：
（1）當(dāng)

4a+1

2

≤1，即a≤

1

4

時(shí)，u（2）最大，
即

u(2)=-3a-9≥0 a≤ 1 4

，
解得a≤-3；
（2）當(dāng)

4a+1

2

＞1，即a＞

1

4

時(shí)，u（0）最大，
即

u(0)=5a-11≥0 a＞ 1 4

；
解得a≥

11

5

；
∴g（x）≥x+a²-5a+11在區(qū)間[0，2]上有解的a的取值范圍是
a≤-3，或a≥

11

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用對(duì)稱(chēng)性求函數(shù)解析式的問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、最值的問(wèn)題，也考查了轉(zhuǎn)化思想，分類(lèi)討論思想，是綜合題目．