Question

（1）求曲線y=

sinx

x

在點(diǎn)M（π，0）處的切線方程．
（2）求函數(shù)f（x）=48x-x³在區(qū)間x∈[-3，5]上的最大值與最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能求出曲線y=

sinx

x

在點(diǎn)M（π，0）處的切線方程．
（2）由f'（x）=48-3x²=3（16-x²）（4-x）（4+x），令f'（x）=0，得x₁=-4，x₂=4，列表討論能求出
函數(shù)f（x）=48x-x³在區(qū)間x∈[-3，5]上的最大值與最小值．

解答： （1）解：∵y′=

x(cosx-sinx)

x2

…（2分）
∴y′|_x=π=-

1

π

，…（3分）
∴過(guò)點(diǎn)M的切線的斜率k=-

1

π

…（4分）
則由點(diǎn)斜式得切線方程為y=-

1

π

x+1…（6分）
（2）解：由f'（x）=48-3x²=3（16-x²）（4-x）（4+x）…（1分）
令f'（x）=0即3（4-x）（4+x）=0∴x₁=-4，x₂=4
又x∈[-3，5]，列表

x	-3	（-3，4）	4	（4，5）	5
f'（x）	+	0	-
f（x）	-117	↗	128	↘	-27

由上表得，當(dāng)x∈[-3，5]時(shí)，
此函數(shù)的遞增區(qū)間為（-3，4），減區(qū)間為（4，5），
當(dāng)x=4時(shí)，此函數(shù)的極大值為128，
又f（-3）=-117，f（5）=-27，
∴f（x）的最大值為f（4）=128，
f（x）的最小值為f（-3）=-117．…（6分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的能力，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．是中檔題．