Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，以兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是一個(gè)面積為8的正方形（記為Q）
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C的左準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線l與橢圓C相交于M、N兩點(diǎn)，當(dāng)線段MN的中點(diǎn)落在正方形Q內(nèi)（包括邊界）時(shí)，求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．由于以兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是一個(gè)面積為8的正方形，可得b=c，(

2

b)2=8，a²=b²+c²即可得出．
（2）橢圓C的左準(zhǔn)線方程為：x=-4．設(shè)直線l的方程為y=k（x+4），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），線段MN的中點(diǎn)G（x₀，y₀）．與橢圓的方程聯(lián)立化為（1+2k²）x²+16k²x+32k²-8=0，由△＞0，解得-

2

2

＜k＜

2

2

．利用根與系數(shù)的關(guān)系與中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得y₀，x₀≤0，可得點(diǎn)G不可能在y軸的右邊．直線F₁B₂，F(xiàn)₁B₁的方程分別為y=x+2，y=-x-2，點(diǎn)G落在正方形Q內(nèi)（包括邊界）的充要條件是

y0≤x0+2 y0≥-x0-2

，解出即可．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
∵以兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是一個(gè)面積為8的
正方形，
∴b=c，(

2

b)2=8，
∴b=c=2，a²=b²+c²=8．
∴

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）橢圓C的左準(zhǔn)線方程為：x=-4．∴P（-4，0），設(shè)直線l的方程為
y=k（x+4），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），線段MN的中點(diǎn)G（x₀，y₀）．
由

y=k(x+4) x2+2y2=8

化為（1+2k²）x²+16k²x+32k²-8=0，①
由△=256k⁴-4（1+32k²）（32k²-8）＞0，解得-

2

2

＜k＜

2

2

．②．
∴x1+x2=

-16k2

1+2k2

．
∴x₀=

x1+x2

2

=-

8k2

1+2k2

，y₀=k（x₀+4）=

4k

1+2k2

．
∵x₀≤0，∴點(diǎn)G不可能在y軸的右邊．
又直線F₁B₂，F(xiàn)₁B₁的方程分別為y=x+2，y=-x-2，
∴點(diǎn)G落在正方形Q內(nèi)（包括邊界）的充要條件是

y0≤x0+2 y0≥-x0-2

，
即

4k 1+2k2 ≤- 8k2 1+2k2 +2 4k 1+2k2 ≥ 8k 1+2k2 -2

化為

2k2+2k-1≤0 2k2-2k-1≤0

，
解得-

3 -1

2

≤k≤

3 -1

2

，滿足②．
因此直線l的斜率的取值范圍是[-

3 -1

2

，

3 -1

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于難題．