Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=4，AA₁=

7

，點D是BC的中點，點E在AC上，且DE⊥A₁E．
（1）證明：平面A₁DE⊥平面ACC₁A₁；
（2）求直線AD和平面A₁DE所成角的正弦值．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）欲證平面A₁DE⊥平面ACC₁A₁，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面ADE內(nèi)一直線與平面ACC₁A₁垂直，而根據(jù)DE⊥AA₁而DE⊥AE．AA₁∩AE=A滿足線面垂直的判定定理可知DE⊥平面ACC₁A₁；
（2）過點A做AF垂直A₁E于F，連接DF，由（1）知：平面A₁DE⊥平面ACC₁A₁．所以AF⊥平面A₁DE，則∠ADF即為直線AD和平面A₁DE所成角，在三角形ADF中求出此角即可．

解答： 解：（1）如圖所示，由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的性質(zhì)知AA₁⊥平面A₁B₁C₁
又DE?平面A₁B₁C₁，
所以DE⊥AA₁．
而DE⊥AE．AA₁∩AE=A，
所以DE⊥平面ACC₁A₁，
又DE?平面A₁DE，
故平面A₁DE⊥平面ACC₁A₁．
（2）過點A做AF垂直A₁E于F，連接DF，

由（1）知：平面A₁DE⊥平面ACC₁A₁．
所以AF⊥平面A₁DE，
則∠ADF即為直線AD和平面A₁DE所成角，
因為DE⊥平面ACC₁A₁．
所以DE⊥AC，
而△ABC是邊長為4的正三角形，
所以AD=2

3

，AE=4-CE=4-

1

2

CD=3，
又因為AA₁=

7

，
所以A₁E=

AA12+AE2

=

( 7 )2+32

=4，
AF=

AE•AA1

A1E

=

3 7

4

，
所以sin∠ADF=

AF

AD

=

21

8

，
故直線AD和平面A₁DE所成角的正弦值為

21

8

點評：本小題主要考查空間中的線面關(guān)系，考查面面垂直的判定及線面所成角的計算，考查邏輯思維能力、運算能力和推理論證能力，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．