Question

（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)R，且為的極值點．

（1）當(dāng)時，求的單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）若恰有兩解，試求實數(shù)的取值范圍；

（3）在（1）的條件下，設(shè)，證明：．

Answer 1

（1）單調(diào)減區(qū)間為;（2）；（3）詳見解析．

【解析】

試題分析：由已知求導(dǎo)得： ，由為的極值點，， ．

（1）當(dāng)時，，進而，又函數(shù)的定義域為，即可求出函數(shù)的單調(diào)見區(qū)間．（2）由，得，則 ，， ，，對a進行分類討論即可求出結(jié)果；（3）當(dāng)時，，即證：．（方法一）利用不等式放縮即可求出結(jié)果；（方法二）數(shù)學(xué)歸納法，證明即可．

試題解析：【解析】
由已知求導(dǎo)得： ，

為的極值點，， ． 2分

（1）當(dāng)時，，

進而，

函數(shù)的定義域為，

的單調(diào)減區(qū)間為． 4分

（2）由，得，則 ，，

，，

（�。┊�(dāng)時，在遞減，在遞增，則的極小值為，

，，

則當(dāng)時，，

又當(dāng)時，， 要使恰有兩解，須，即．

因此，當(dāng)時，恰有兩解．

（ⅱ）當(dāng)時，在、遞增，在遞減，

則的極大值為，的極小值為．

，

當(dāng)時，，此時不可能恰有兩解．

（ⅲ）當(dāng)時，在、遞增，在遞減，

則的極大值為，的極小值為．

，當(dāng)時，不可能恰有兩解．

（ⅳ）當(dāng)時，在單調(diào)遞增，不可能恰有兩解．

綜合可得，若恰有兩解，則實數(shù)的取值范圍是． 9分

（3）當(dāng)時，，

即證：．

（方法一）先證明：當(dāng)時，．

設(shè)， ，

當(dāng)時，，則在遞減，，

，，即，

，，即．

．

令，得，

則． 14分

（方法二）數(shù)學(xué)歸納法：

1．當(dāng)時，左邊=，右邊=，

，， ，即時，命題成立．

2．設(shè)時，命題成立，即．

當(dāng)時，左邊=

右邊=，

要證，即證，

即證，也即證．

令，即證：，（證法見方法一）

因此，由數(shù)學(xué)歸納法可得命題成立． 14分．

考點：1．導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)區(qū)間上的應(yīng)用；2．導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用．