Question

△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知

m

=（b，-

3 sinB

3

），

n

=（cosC，c），a=

m

•

n

．
（1）求B；
（2）若b=

3

，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點：余弦定理,平面向量數量積的運算

專題：計算題,解三角形

分析：（1）運用向量的數量積的坐標公式和三角函數的誘導公式和同角公式，即可化簡求得B；
（2）運用余弦定理和基本不等式，以及三角形的面積公式，即可得到最大值．

解答： 解：（1）由于

m

=（b，-

3 sinB

3

），

n

=（cosC，c），a=

m

•

n

，
即a=bcosC-

3 sinB

3

c，
所以sinA=sinBcosC-

3

3

sinBsinC，
即sin(B+C)=sinBcosC-

3

3

sinBsinC，
化簡得tanB=-

3

，
所以B=120°；
（2）由余弦定理cosB=

a2+c2-b2

2ac

得
3-ac=a²+c²，
因為3-ac=a²+c²≥2ac（當且僅當a=c時取等號），
所以ac≤1．
因此S=

1

2

acsinB=

3

4

ac≤

3

4

（當且僅當a=c時取等號），
所以△ABC面積的最大值為

3

4

．

點評：本題考查平面向量的數量積的坐標表示，考查正弦定理和余弦定理和三角形面積公式的運用，考查三角函數的化簡和求值，以及基本不等式的運用，屬于中檔題．