Question

已知數(shù)列{a_n}前項n和s_n=n²+4n（n∈N*），數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，首項b₁=2，公比為q（q＞0），且滿足b₂，b₃+4q，b₄成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）設(shè)c_n=

3(an-3)•bn

4

，記數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）把當(dāng)n=1時a₁=s₁、當(dāng)n≥2時a_n=s_n-s_n-1代入s_n=n²+4n（n∈N*），化簡求出a_n，由等差中項的性質(zhì)求出公比q，代入等比數(shù)列的通項公式求出b_n；
（2）由（1）和條件求出c_n，利用錯位相減法求出數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n．

解答： 解：（1）由題意得，s_n=n²+4n（n∈N*），
當(dāng)n=1時，a₁=s₁=5．
當(dāng)n≥2時，a_n=s_n-s_n-1=n²+4n-[（n-1）²+4（n-1）]=2n+3，
驗證n=1時也成立，
所以數(shù)列{a_n}的通項公式為：a_n=2n+3，
因為b₂，b₃+4q，b₄成等差數(shù)列，b₁=2．
所以2（b₃+4q）=b₂+b₄，即q²-2q-3=0，
因為q＞0，所以q=3，
所以數(shù)列{b_n}的通項公式為：b_n=2•3^n-1…（6分）
（2）由（1）得，c_n=

3(an-3)•bn

4

=n•3ⁿ，
所以T_n=1×3+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ…①
3×T_n=1×3²+2×3³+3×3⁴+…+n×3ⁿ⁺¹…②
由①-②得：-2T_n=3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ-n×3ⁿ⁺¹
=

3(3n-1)

3-1

-n×3n+1=

(1-2n)•3n+1-3

2

所以T_n=

(2n-1)•3n+1+3

4

…（12分）

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列中a_n與s_n的關(guān)系式，等差中項的性質(zhì)，等比數(shù)列的通項公式，以及錯位相減法求數(shù)列的前n項和，考查了學(xué)生化簡計算能力．