如圖，某山區(qū)的兩個工廠A、B直線距離14km，工廠C距A、B直線距離都是25km，E為線段AB的中點，在線段CE上選建變電站D，并從點D處鋪設(shè)到工廠A，B，C的輸電線DA，DB，DC．
（1）變電站D建在何處，可使鋪設(shè)的總輸電線長最短？
（2）因山區(qū)復(fù)雜條件，希望鋪設(shè)的三段輸電線中最遠(yuǎn)一段的長度為最小，那么變電站D建在何處？
考點：根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值
專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析：（1）設(shè)DE=xkm，鋪設(shè)的總輸電線長為lkm，由題意求出|CD|，|DA|的長度，得到總輸電線長l與x的函數(shù)關(guān)系式，利用導(dǎo)數(shù)求得最小值得答案；
（2）設(shè)DE=xkm，鋪設(shè)的三段輸電線中最遠(yuǎn)一段的長度為d（x）km，然后寫出分段函數(shù)，根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性得到三段輸電線中最遠(yuǎn)一段的長度為最小時的D的位置．
解答： 解：（1）設(shè)DE=xkm，鋪設(shè)的總輸電線長為lkm，根據(jù)題意，
|CE|=
252-72
=24，|CD|=24-x，|DA|=|DB|=
x2+49
，
則l（x）=24-x+2
x2+49
（0≤x≤24）．
l′(x)=-1+
2x
x2+49
，令l′（x）=0，得x=
7
3
3
．
當(dāng)x∈(0，
7
3
3
)時，l′（x）＜0，l（x）單調(diào)遞減，
x∈(
7
3
3
，24)時，l′（x）＞0，l（x）單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=
7
3
3
時l（x）最小，
于是，變電站D建在線段CE上距點E
7
3
3
km處，可使鋪設(shè)的總輸電線長最短；
（2）設(shè)DE=xkm，鋪設(shè)的三段輸電線中最遠(yuǎn)一段的長度為d（x）km，則有
d（x）=max{24-x，
x2+49
}（0≤x≤24），
d(x)=
24-x，24-x≥
x2+49
x2+49
，24-x＜
x2+49
=
24-x，0≤x≤
569
48
x2+49
，
569
48
＜x≤24
．
當(dāng)x∈[0，
569
48
]時，d（x）=24-x單調(diào)遞減，x∈(
569
48
，24]時，d（x）=
x2+49
單調(diào)遞增，
∴x=
569
48
時，d（x）取得最小值．
于是變電站D建在線段CE上距點E
569
48
km處，可使鋪設(shè)的三段輸電線中最遠(yuǎn)一段的長度為最小．
點評：本題考查了簡單的數(shù)學(xué)建模思想方法，考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，是中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC為正△，側(cè)棱A1A⊥面ABC，若AB=AA1，則異面直線A1B與AC所成的角的余弦值等于
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在實數(shù)集R中，我們定義的大小關(guān)系“＞”為全體實數(shù)排了一個“序”，類似的，我們在平面向量集D={
a
|
a
=（x，y），x∈R，y∈R}上也可以定義一個稱為“序”的關(guān)系，記為“＞”．定義如下：對于任意兩個向量
a1
=（x1，y1），
a2
=（x2，y2），
a1
＞
a2
當(dāng)且僅當(dāng)“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”按上述定義的關(guān)系“＞”，給出下列四個命題：
①若
e1
=（1，0），
e2
=（0，1），
0
=（0，0）則
e1
＞
e2
＞
0
；
②若
a1
＞
a2
，
a2
＞
a3
，則
a1
＞
a3
；
③若
a1
＞
a2
，則對于任意
a
∈D，
a1
+
a
＞
a2
+
a
；
④對于任意向量
a
＞
0
，
0
=(0，0)，若
a1
＞
a2
，則
a
•
a1
＞
a
•
a2
．
其中命題正確的序號為（　�。�
A、①②B、①③
C、①②③D、①②③④

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列命題為真命題的是
 
．（用序號表示即可）
①cos1＞cos2＞cos3；
②若an=an+3且an=n+3（n=1、2、3），則a2013＜a2014＜a2015；
③若e1、e2、e3分別為雙曲線x2-
y2
3
=1、
x2
4
-
y2
3
=1、
x2
4
-y2=1的離心率，則e1＞e2＞e3；
④若x1＞x2＞x3，則lgx1＞lgx2＞lgx3．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的離心率e=
2
3
3
，經(jīng)過A（a，0），B（0，-b）兩點的直線l與原點的距離d=
3
2

（1）求雙曲線C的方程；
（2）直線y=kx+5與雙曲線C交于M，N兩點，若|BM|=|BN|，求斜率k的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，棱錐V-ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA=VB，AD=BD．求證：
（1）AB⊥平面VDC；
（2）AB⊥CD．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正四棱柱的底面邊長為4cm，高為5cm，求它的全面積和體積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）中，若以其焦點為圓心，半實軸長為半徑的圓與漸近線相切，則其漸近線方程為
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）為偶函數(shù)，其圖象上相鄰的兩個最低點間的距離為2π．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若將函數(shù)f（x）圖象向右平移
π
3
個單位得到函數(shù)g（x）圖象，若α∈[0，π]，且g（α）=
1
2
，求α的值．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案