12.在平面直角坐標(biāo)系中,如果x與y都是整數(shù),就稱點(x,y)為整點,下列命題中正確的是①③⑤(寫出所有正確命題的編號)
①存在這樣的直線,既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點;
②如果k與b都是無理數(shù),則直線y=kx+b不經(jīng)過任何整點;
③如果直線l經(jīng)過兩個不同的整點,則直線l必經(jīng)過無窮多個整點;
④直線y=kx+b經(jīng)過無窮多個整點的充分必要條件是:k與b都是有理數(shù);
⑤存在恰經(jīng)過一個整點的直線.

分析 ①舉一例子即可說明本命題是真命題;
②舉一反例即可說明本命題是假命題;
③假設(shè)直線l過兩個不同的整點,設(shè)直線l為y=kx,把兩整點的坐標(biāo)代入直線l的方程,兩式相減得到兩整點的橫縱坐標(biāo)之差的那個點也為整點且在直線l上,利用同樣的方法,得到直線l經(jīng)過無窮多個整點,得到本命題為真命題;
④當(dāng)k,b都為有理數(shù)時,y=kx+b可能不經(jīng)過整點,例如k=$\frac{1}{2}$,b=$\frac{1}{3}$;
⑤舉一例子即可得到本命題為真命題.

解答 解:①令y=x+$\frac{1}{2}$,既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點,所以本命題正確;
②若k=$\sqrt{2}$,b=$\sqrt{2}$,則直線y=$\sqrt{2}$x+$\sqrt{2}$經(jīng)過(-1,0),所以本命題錯誤;
設(shè)y=kx為過原點的直線,若此直線l過不同的整點(x1,y1)和(x2,y2),
把兩點代入直線l方程得:y1=kx1,y2=kx2
兩式相減得:y1-y2=k(x1-x2),
則(x1-x2,y1-y2)也在直線y=kx上且為整點,
通過這種方法得到直線l經(jīng)過無窮多個整點,則③正確;
④當(dāng)k,b都為有理數(shù)時,y=kx+b可能不經(jīng)過整點,例如k=$\frac{1}{2}$,b=$\frac{1}{3}$,故④不正確;
⑤令直線y=$\sqrt{2}$x恰經(jīng)過整點(0,0),所以本命題正確.
綜上,命題正確的序號有:①③⑤.
故答案為:①③⑤.

點評 此題考查學(xué)生會利用舉反例的方法說明一個命題為假命題,要說明一個命題是真命題必須經(jīng)過嚴(yán)格的說理證明,以及考查學(xué)生對題中新定義的理解能力,是一道中檔題.

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