Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+bx²+|x-a|（a＞0，b∈R），如果f（x）的圖象在點x=2a處的切線斜率為4a²+1．
（1）求b的值；
（2）若f（x）在區(qū)間（-2，2）上有最小值，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，利用f（x）的圖象在點x=2a處的切線斜率為4a²+1，建立方程，即可求b的值；
（2）分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，利用f（x）在區(qū)間（-2，2）上有最小值，求a的取值范圍．

解答 解：（1）x≥a時，f（x）=$\frac{1}{3}$x³+bx²+x-a，f′（x）=x²+2bx+1，
x=2a時，f′（2a）=4a²+4ab+1=4a²+1，即4ab=0，
∵a＞0，∴b=0．
（2）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}{x}^{3}+x-a，x≥a}\\{\frac{1}{3}{x}^{3}-x+a，x＜a}\end{array}\right.$
當x≥a時，f′（x）=x²+1＞0，即f（x）在[a，+∞）上單調(diào)遞增；
當x＜a時，f′（x）=x²-1，x＜-1時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；-1＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；x＞1時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
對于x∈（-2，2），若a≥1，則f（x）在（-2，-1）上遞增，在（-1，1）上遞減，在（1，2）上遞增，
此時f（x）在x=-1處取得極大值，在x=1處取得極小值．
顯然f（1）＜f（2），由f（1）≤f（-2）得a-$\frac{2}{3}$≤a-$\frac{2}{3}$成立．
∴a≥1時，f（1）是f（x）在區(qū)間（-2，2）上的最小值．
若0＜a＜1，f（x）在（-2，-1）上遞增，在（-1，a）上遞減，在（a，2）上遞增．
此時f（x）在x=a處取得極小值．
∵f（a）-f（-2）=$\frac{（a-1）^{2}（a+2）}{3}$＞0，
∴f（x）在（-2，2）上沒有最小值．
綜上，a的取值范圍是[1，+∞）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．