Question

2．已知函數(shù)的對稱中心為M（x₀，y₀），記函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），函數(shù)f′（x）的導(dǎo)函數(shù)為f″（x），則有f″（x₀）=0．若函數(shù)f（x）=x³-3x²，則可求得：f（$\frac{1}{2012}$）+f（$\frac{2}{2012}$）+…+f（$\frac{4022}{2012}$）+f（$\frac{4023}{2012}$）=-8046．

Answer 1

分析 由題意對已知函數(shù)求兩次導(dǎo)數(shù)可得圖象關(guān)于點(diǎn)（1，-2）對稱，即f（x）+f（2-x）=-4，而要求的式子可用倒序相加法求解，再利用倒序相加，即可得到結(jié)論．

解答 解：f′（x）=3x²-6x，
∴f″（x）=6x-6，
令f″（x₀）=0，
∴x₀=1
而f（1）=-2，故函數(shù)f（x）=x³-3x²關(guān)于點(diǎn)（1，-2）對稱，即f（x）+f（2-x）=-4
∴f（$\frac{1}{2012}$）+f（$\frac{4023}{2012}$）=-4，f（$\frac{2}{2012}$）+f（$\frac{4022}{2012}$）=-4，
∴f（$\frac{1}{2012}$）+f（$\frac{2}{2012}$）+…+f（$\frac{4022}{2012}$）+f（$\frac{4023}{2012}$）+f（$\frac{4023}{2012}$）+f（$\frac{4022}{2012}$）+…+f（$\frac{2}{2012}$）+f（$\frac{1}{2012}$）=4023×（-4），
∴f（$\frac{1}{2012}$）+f（$\frac{2}{2012}$）+…+f（$\frac{4022}{2012}$）+f（$\frac{4023}{2012}$）=-8046，
故答案為：-8046．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的對稱性，確定函數(shù)的對稱中心，利用倒序相加是關(guān)鍵．