Question

3．已知函數(shù)f（x）=xlnx，
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點（e，f（e））處的切線方程；
（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式f（x）-$\frac{1}{2}$≤$\frac{3}{2}{x}^{2}$+ax在（0，+∞）上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=lnx+1，可得f′（e）=2，又f（e）=e，利用直線方程的點斜式可得曲線f（x）在點（e，f（e））處的切線方程；
（Ⅱ）把f（x）-$\frac{1}{2}$≤$\frac{3}{2}{x}^{2}$+ax在（0，+∞）上恒成立轉(zhuǎn)化為2a≥$\frac{2xlnx-3{x}^{2}-1}{x}$在（0，+∞）上恒成立，令g（x）=$\frac{2xlnx-3{x}^{2}-1}{x}$，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值得答案．

解答 解：（Ⅰ）依題意，f′（x）=lnx+1，故f′（e）=2，而f（e）=e，
∴曲線y=f（x）在點（e，f（e））處的切線方程為y-e=2（x-e），
即y=2x-e；
（Ⅱ）關(guān)于x的不等式f（x）-$\frac{1}{2}$≤$\frac{3}{2}{x}^{2}$+ax在（0，+∞）上恒成立，
即$xlnx-\frac{1}{2}≤\frac{3}{2}{x}^{2}+ax$在（0，+∞）上恒成立，
也就是2a≥$\frac{2xlnx-3{x}^{2}-1}{x}$在（0，+∞）上恒成立，
令g（x）=$\frac{2xlnx-3{x}^{2}-1}{x}$，則g′（x）=$\frac{-（3x+1）（x-1）}{{x}^{2}}$．
當(dāng)x∈（0，1）時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（1，+∞）時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減．
∴g（x）_max=g（1）=-4，
故2a≥-4，可得a≥-2．
故實數(shù)a的取值范圍為[-2，+∞）．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查了利用分離參數(shù)法求解恒成立問題，屬于中檔題．