Question

15．已知1是函數(shù)f（x）=ax³-3x的一個(gè)極值點(diǎn)，其中a為實(shí)數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)函數(shù)，利用1是函數(shù)f（x）=ax³-3x的一個(gè)極值點(diǎn)，即可求解a．
（2）由（1）得：f'（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1），求出極值點(diǎn)，通過判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求解函數(shù)的最值．

解答 解：（1）∵f（x）=ax³-3x，
∴f'（x）=3ax²-3，…（2分）
∵1是函數(shù)f（x）=ax³-3x的一個(gè)極值點(diǎn)，
∴f'（1）=0，…（3分）
∴3a-3=0，
∴a=1，…（5分）
當(dāng)a=1時(shí)，f'（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1），滿足題意．                  …（6分）
（2）由（1）得：f'（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1），
令f'（x）=0，
∴x₁=-1，x₂=1，…（8分）

x	-2	（-2，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，2）	2
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）	f（-2）	增	極大值	減	極小值	增	f（2）

…（10分）
∵f（-1）=2，f（2）=2，
∴f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值是2．                                …（12分）

點(diǎn)評(píng) 考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值以及函數(shù)最值問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法，屬于中檔題．