如圖,在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E是棱D1D的中點,點F在棱B1B上,且滿足B1F=2BF.
(1)求證:EF⊥A1C1;    
(2)求幾何體ABFED的體積.
考點:棱柱、棱錐、棱臺的體積
專題:綜合題,空間位置關系與距離
分析:(1)連結B1D1,BD,由已知條件推導出A1C1⊥DD1,從而得到A1C1⊥平面BB1D1D.由此能證明EF⊥A1C1
(2)求出梯形BDEF的面積,即可求幾何體ABFED的體積.
解答: (1)證明:連結B1D1,BD,∵四邊形A1B1C1D1是正方形,∴B1D1⊥A1C1
在正方體ABCD-A1B1C1D1中,
∵DD1⊥平面A1B1C1D1,A1C1?平面A1B1C1D1,∴A1C1⊥DD1
∵B1D1∩DD1=D1,B1D1,DD1?平面BB1D1D,∴A1C1⊥平面BB1D1D.
∵EF?平面BB1D1D,∴EF⊥A1C1
(2)解:連接AC交BD于點O,由于ABCD-A1B1C1D1為正方體,
∴AA1∥BB1,AA1=BB1,BB1∥CC1,BB1=CC1,AA1∥CC1,AA1=CC1,
∴四邊形AA1C1C為平行四邊形,AC∥A1C1,AC=A1C1
由(1)知,A1C1⊥平面BB1D1D,∴AC⊥平面BB1D1D,∴AO⊥平面BB1D1D,
由AC=
AB2+BC2
=
a2+a2
=
2
a,
∴AO=
1
2
AC=
2
2
a
,
在直角梯形BDEF中,直角腰BD=AC=
2
a,上底BF=
1
3
BB1=
1
3
a,下底DE=
1
2
DD1=
1
2
a,
因此梯形BDEF的面積SBDEF=
1
2
(BF+DE)•BD
=
1
2
×(
a
3
+
a
2
2
a
=
5
2
12
a2

因此幾何體ABFED的體積VABFED=
1
3
AO•SBDEF
=
1
3
×
2
2
5
2
12
a2
=
5
36
a3
點評:本小題主要考查空間線面關系與幾何體體積的計算等知識,考查數(shù)形結合、化歸與轉化的數(shù)學思想方法,以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓x2+
y2
4
=1的左,右兩個頂點分別為A、B.曲線C是以A、B兩點為頂點,離心率為
5
的雙曲線.設點P在第一象限且在曲線C上,直線AP與橢圓相交于另一點T.
(1)求曲線C的方程;
(2)設P、T兩點的橫坐標分別為x1、x2,證明:x1•x2=1.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

解關于x的不等式:x2+|x-2|>3.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

用反證法證明:方程3x=12只有一個實數(shù)解.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設A={x|-2≤x≤3},B={x|m-1≤x≤2m+1}.
(1)當x∈N*時寫出A的所有子集;
(2)當x∈R且A∩B=∅時,求m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

函數(shù)f(x)=log2x與y=g(x)的圖象關于直線y=x對稱,則g(2)=
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知
a
=(x-1,2),
b
=(2,1)且
a
b
,則x=
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知雙曲線的中心在原點,焦點在坐標軸上,點P(-2,0)到其漸近線的距離為
2
6
3
.若過P點作斜率為
2
2
的直線交雙曲線于A,B兩點,交y軸于M點,且PM是PA與PB的等比中項,則雙曲線的半焦距為
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,E,F(xiàn)分別為正方形ABCD的邊BC,CD的中點,沿圖中虛線將邊長為2的正方形折起來,圍成一個三棱錐,則此三棱錐的體積是
 

查看答案和解析>>

同步練習冊答案