Question

3．若函數f（x）=ax³-bx+2，當x=1時，函數f（x）取極值0．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若關于x的方程f（x）=k有三個零點，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，利用函數的極值點以及極值，求解a，b即可．
（2）求出函數的極值點判斷函數的單調性，推出函數的極值，然后求解k的范圍．

解答 解　（1）由題意可知f′（x）=3ax²-b．
$\left\{\begin{array}{l}f（1）=0\\ f'（1）=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=3\end{array}\right.$
故所求的函數解析式為f（x）=x³-3x+2．
（2）由（1）可知f′（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1）．
令f′（x）=0得x=1或x=-1，
當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表所示：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值	單調遞增

因此，當x=-1時，f（x）有極大值4，
當x=1時，f（x）有極小值0，
故實數k的取值范圍為（0，4）．

點評 本題考查函數的導數的綜合應用，函數的極值以及單調性的判斷，考查轉化思想以及計算能力．