Question

15．已知f（log_ax）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（x-$\frac{1}{x}$），（0＜a＜1）
（1）求f（x）的解析式；
（2）判斷并證明f（x）的奇偶性與單調性；
（3）若不等式f（3t²-1）+f（4t-k）＞0對任意t∈[1，3]都成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用換元法求函數解析式；
（2）直接利用函數的奇偶性與單調性的定義證明；
（3）由函數的性質把不等式轉化為3t²-1＞-4t+k對任意t∈[1，3]都成立，分離參數k，再由配方法求出二次函數的最值得答案．

解答 解：（1）令log_ax=t，則x=a^t，
由f（log_ax）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（x-$\frac{1}{x}$），得$f（t）=\frac{a}{{a}^{2}-1}（{a}^{t}-{a}^{-t}）$，
∴$f（x）=\frac{a}{{a}^{2}-1}（{a}^{x}-{a}^{-x}）$；
（2）函數f（x）為奇函數且為R上的單調增函數．
證明如下：
∵f（x）的定義域為R，且$f（-x）=\frac{a}{{a}^{2}-1}（{a}^{-x}-{a}^{x}）=-\frac{a}{{a}^{2}-1}（{a}^{x}-{a}^{-x}）=-f（x）$，
∴f（x）為奇函數．
當0＜a＜1時，a²-1＜0，∴$\frac{a}{{a}^{2}-1}＜0$，任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，則${a}^{{x}_{1}}$＞${a}^{{x}_{2}}$，
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{a}{{a}^{2}-1}（{a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}+{a}^{-{x}_{2}}-{a}^{-{x}_{1}}）$=$\frac{a}{{a}^{2}-1}（{a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}）（1+\frac{1}{{a}^{{x}_{1}}•{a}^{{x}_{2}}}）$＜0．
∴f（x₁）＜f（x₂），又x₁＜x₂，
∴f（x）為實數集上的單調增函數；
（3）不等式f（3t²-1）+f（4t-k）＞0對任意t∈[1，3]都成立，
即不等式f（3t²-1）＞f（-4t+k）對任意t∈[1，3]都成立，
即3t²-1＞-4t+k對任意t∈[1，3]都成立，
也就是3t²+4t-1＞k對任意t∈[1，3]都成立，
∵$3{t}^{2}+4t-1=3（{t}^{2}+\frac{4}{3}t）-1=3（t+\frac{2}{3}）^{2}-\frac{7}{3}$在[1，3]上的最小值為6，
∴k＜6．
∴實數k的取值范圍為（-∞，6）．

點評 本題考查恒成立問題，考查了函數單調性與奇偶性的性質，訓練了分離參數法求字母的取值范圍，是中檔題．