Question

已知空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz中的點(diǎn)A（1，1，1），平面α過點(diǎn)A且與直線OA垂直，動(dòng)點(diǎn)P（x，y，z）是平面α內(nèi)的任一點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足的條件；

（2）求平面α與坐標(biāo)平面圍成的幾何體的體積．

 

Answer 1

（1）x+y+z=3．（2）

【解析】

試題分析：（1）通過平面α過點(diǎn)A且與直線OA垂直，利用勾股定理即可求點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足的條件；

（2）求出平面α與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可利用棱錐的體積公式求出所求幾何體體積．

【解析】
（1）因?yàn)镺A⊥α，所以O(shè)A⊥AP，

由勾股定理可得：|OA|2+|AP|2=|OP|2，

即3+（x﹣1）2+（y﹣1）2+（z﹣1）2=x2+y2+z2，化簡(jiǎn)得：x+y+z=3．

（2）設(shè)平面α與x軸、y軸、z軸的點(diǎn)分別為M、N、H，

則M（3，0，0）、N（0，3，0）、H（0，0，3）．

所以|MN|=|NH|=|MH|=3，

所以等邊三角形MNH的面積為：=．

又|OA|=，故三棱錐0﹣MNH的體積為：=．