Question

如圖，底面是等腰梯形的四棱錐E-ABCD中，EA⊥平面ABCD，AB∥CD，AB=2CD，∠ABC=

π

3

．
（Ⅰ）設(shè)F為EA的中點，證明：DF∥平面EBC；
（Ⅱ）若AE=AB=2，求三棱錐B-CDE的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）取EB的中點G，連接FG，CG，利用F為EA的中點，證明四邊形CDFG為平行四邊形，即可證明：DF∥平面EBC；
（Ⅱ）等腰梯形ABCD中，作CH⊥AB于H，求出點B到CD的距離，即可求三棱錐B-CDE的體積．

解答： （Ⅰ）證明：取EB的中點G，連接FG，CG，
∵F為EA的中點，
∴FG∥AB，F(xiàn)G=

1

2

AB，
∵AB∥CD，AB=2CD，
∴FG∥CD，F(xiàn)G=CD，
∴四邊形CDFG為平行四邊形，
∴DF∥CG，
∵DF?平面EBC，CG?平面EBC，
∴DF∥平面EBC；
（Ⅱ）解：等腰梯形ABCD中，作CH⊥AB于H，則BH=

1

2

，
在Rt△BHC中，∠ABC=60°，則CH=

1

2

tan60°=

3

2

，
即點C到AB的距離d=

3

2

，則點B到CD的距離為

3

2

，
∵EA⊥平面ACD，
∴三棱錐B-CDE的體積為V_E-BDC=

1

3

•

1

2

•1•

3

2

•2=

3

6

．

點評：本題考查線面平行，考查三棱錐的體積，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度中等．