Question

3．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=2，a₂=2，a_n+2=2a_n+1-a_n+2．
①設(shè)b_n=a_n+1-a_n，證明{b_n}是等差數(shù)列；
②求{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 ①把原數(shù)列遞推式變形，可得（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=2，即b_n+1-b_n=2．再由已知求得b₁=a₂-a₁=0，可得{b_n}是以0為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列；
②由①中的等差數(shù)列求出{b_n}的通項(xiàng)公式，代入b_n=a_n+1-a_n，利用累加法求得{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答 解：①由a_n+2=2a_n+1-a_n+2，得
（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=2，
由b_n=a_n+1-a_n，得b_n+1-b_n=2．
又a₁=2，a₂=2，∴b₁=a₂-a₁=0，
∴{b_n}是以0為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列；
②由①得b_n=0+2（n-1）=2n-2，
∴a_n+1-a_n=2n-2．
則a₂-a₁=2×1-2，
a₃-a₂=2×2-2，
a₄-a₃=2×3-2，
…
a_n-a_n-1=2（n-1）-2（n≥2）．
累加得：a_n-a₁=2[1+2+…+（n-1）]-2（n-1），
∴${a}_{n}=2+2×\frac{n（n-1）}{2}-2（n-1）={n}^{2}-3n+4$．
驗(yàn)證a₁=2適合上式，
∴${a_n}={n^2}-3n+4$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，是中檔題．