Question

8．函數(shù)f（x）=$\frac{cosx}{sinx+\sqrt{2}}$（x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]．

Answer 1

分析 求出f（x）的導數(shù)，由導數(shù)小于0，結合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到所求單調(diào)區(qū)間．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{cosx}{sinx+\sqrt{2}}$的導數(shù)為
f′（x）=$\frac{-sinx（sinx+\sqrt{2}）-cosx•cosx}{（sinx+\sqrt{2}）^{2}}$=$\frac{-1-\sqrt{2}sinx}{（sinx+\sqrt{2}）^{2}}$，
由f′（x）＜0，即sinx＞-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，可得-$\frac{π}{4}$＜x≤$\frac{π}{2}$．
即f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]．
故答案為：（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，注意運用導數(shù)，解三角不等式，考查運算能力，屬于中檔題．