Question

20．已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)于任意的x∈[0，+∞），滿足f（x+2）=f（x），若當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，f（x）=|x²-x-1|，則函數(shù)y=f（x）-1在區(qū)間[-2，4]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為7．

Answer 1

分析 如圖所示，y=g（x）=f（x）-1=$\left\{\begin{array}{l}{-（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}，0≤x≤\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\\{（x-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{9}{4}，\frac{1+\sqrt{5}}{2}＜x＜2}\end{array}\right.$，再利用f（x+2）=f（x），可得x∈[2，4]上的圖象．由函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù)，可得g（x）也是R上的偶函數(shù)，結(jié)合圖象即可得出零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答 解：如圖所示，y=g（x）=f（x）-1=$\left\{\begin{array}{l}{-（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}，0≤x≤\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\\{（x-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{9}{4}，\frac{1+\sqrt{5}}{2}＜x＜2}\end{array}\right.$，
再利用f（x+2）=f（x），可得x∈[2，4]上的圖象．
由函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù)，可得g（x）也是R上的偶函數(shù)，利用偶函數(shù)的性質(zhì)可得x∈[-2，0）上的圖象．
x∈[0，2）時(shí)，g（0）=g（1）=0，
x∈[2，4]時(shí)，g（2）=g（4）=g（0）=0，g（3）=g（1）=0．
x∈[-2，0）時(shí)，g（-2）=g（2）=0，g（-1）=g（1）=0．
指數(shù)可得：函數(shù)g（x）共有7個(gè)零點(diǎn)．
故答案為：7．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性與周期性、絕對(duì)值函數(shù)的圖象、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．