Question

17．設(shè)F₁、F₂分別為橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)D為橢圓E的左頂點(diǎn)，且|CD|=$\sqrt{5}$，橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（1）求橢圓E的方程；
（2）對于正常數(shù)λ，如果存在過點(diǎn)M（x₀，0）（-a＜x₀＜a）的直線l與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，使得S_△AOB=λS_△AOD（其中O為原點(diǎn)），則稱點(diǎn)M為橢圓E的“λ分點(diǎn)”．試判斷點(diǎn)M（1，0）是否為橢圓E的“2分點(diǎn)”．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件，列出方程求解橢圓的幾何量，即可得到結(jié)果．
（2）如果點(diǎn)M為橢圓C的“2分點(diǎn)“，即有S_△AOB=2S_△AOD，設(shè)直線l的方程為x=my+x₀，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，計(jì)算即可得到所求范圍．

解答 解：（1）由題意F₁、F₂分別為橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，
點(diǎn)D為橢圓E的左頂點(diǎn)，且|CD|=$\sqrt{5}$，橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
可得：${a^2}+{b^2}=5，\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$得a²=4，b²=1，
橢圓E的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
（2）假設(shè)M是橢圓E的“2分點(diǎn)”，
則存在過點(diǎn)M的直線l與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，使得S_△AOB=2S_△AOD，
顯然直線l與y軸垂直，設(shè)l：x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+{y^2}=1\\ x=my+1\end{array}\right.$，得（m²+4）y²+2my-3=0，所以${y_1}+{y_2}=\frac{-2m}{{{m^2}+4}}$，①${y_1}{y_2}=\frac{-3}{{{m^2}+4}}$．②
因?yàn)镾_△AOB=2S_△AOD，∴$\frac{1}{2}（{|{y_1}|+|{y_2}|}）=2×\frac{1}{2}×2|{y_1}|，即|{y_2}|=3|{y_1}|$．
由②知y₁y₂＜0，∴y₂=-3y₁，③將③代入①得${y_1}=\frac{m}{{{m^2}+4}}$，④
將③代入②得$y_1^2=\frac{1}{{{m^2}+4}}$，⑤將④代入⑤得$\frac{m^2}{{{m^2}+4}}=1$，無解．
所以點(diǎn)M（1，0）不是橢圓E的“2分點(diǎn)”．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查新定義的理解和運(yùn)用，考查橢圓的方程和性質(zhì)，同時(shí)考查聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．