Question

9．設(shè)點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)（不包括邊界），且$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$（m．n∈R），則m²+n²-2m-2n+3的取值范圍是$（\frac{3}{2}，3）$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意可得m、n滿足的不等式組，在mon坐標(biāo)系內(nèi)作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離是即可得到結(jié)論．

解答 解：∵點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)（不包括邊界），$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$，（m．n∈R），
∴實(shí)數(shù)m、n滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{n＞0}\\{m+n＜1}\end{array}\right.$，
在mon坐標(biāo)系內(nèi)作出不等式組表示的平面區(qū)域，
得到如圖所示的△MN0內(nèi)部（不含邊界），其中M（1，0），N（0，1），O是坐標(biāo)原點(diǎn)．
∵m²+n²-2m-2n+3=（m-1）²+（n-1）²+1．
設(shè)P（m，n）是區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)，Q（1，1）
∵|PQ|=$\sqrt{（m-1）^{2}+（n-1）^{2}}$，
∴z=（m-1）²+（n-1）²+1表示P、Q連線段長的平方加1．
運(yùn)動(dòng)點(diǎn)P，可得當(dāng)P與Q在MN上的射影重合時(shí)，|PQ|達(dá)到最小值，
當(dāng)P與原點(diǎn)O重合時(shí)，|PQ|達(dá)到最大值．
∵點(diǎn)P到MN的距離為d₁=$\frac{|1+1-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，|PO|=$\sqrt{{（0-1）}^{2}+{（0-1）}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴（m-1）²+（n-1）²∈（$（{\frac{\sqrt{2}}{2}）}^{2}$，$（{\sqrt{2}）}^{2}$），
即（m-1）²+（n-1）²的取值范圍是$（\frac{1}{2}，2）$．
則z=（m-1）²+（n-1）²+1∈$（\frac{3}{2}，3）$
故答案為：$（\frac{3}{2}，3）$

點(diǎn)評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，以平面向量為載體，求（m-1）²+（n-1）²+1的取值范圍．著重考查了向量的線性運(yùn)算、二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和點(diǎn)到直線的距離公式等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度較大．