【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,橢圓E: =1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1 , F2 , 離心率為 ,兩準線之間的距離為8.點P在橢圓E上,且位于第一象限,過點F1作直線PF1的垂線l1 , 過點F2作直線PF2的垂線l2 .
(Ⅰ)求橢圓E的標準方程;
(Ⅱ)若直線l1 , l2的交點Q在橢圓E上,求點P的坐標.
【答案】解:(Ⅰ)由題意可知:橢圓的離心率e= = ,則a=2c,①
橢圓的準線方程x=± ,由2× =8,②
由①②解得:a=2,c=1,
則b2=a2﹣c2=3,
∴橢圓的標準方程: ;
(Ⅱ)設P(x0 , y0),則直線PF2的斜率 = ,
則直線l2的斜率k2=﹣ ,直線l2的方程y=﹣ (x﹣1),
直線PF1的斜率 = ,
則直線l2的斜率k2=﹣ ,直線l2的方程y=﹣ (x+1),
聯(lián)立 ,解得: ,則Q(﹣x0 , ),
由Q在橢圓上,則y0= ,則y02=x02﹣1,
則 ,解得: ,則 ,
∴P( , )或P(﹣ , )或P( ,﹣ )或P(﹣ ,﹣ ).
【解析】(Ⅰ)由橢圓的離心率公式求得a=2c,由橢圓的準線方程x=± ,則2× =8,即可求得a和c的值,則b2=a2﹣c2=3,即可求得橢圓方程;
(Ⅱ)設P點坐標,分別求得直線PF2的斜率及直線PF1的斜率,則即可求得l2及l(fā)1的斜率及方程,聯(lián)立求得Q點坐標,由Q在橢圓方程,求得y02=x02﹣1,聯(lián)立即可求得P點坐標;
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用點斜式方程的相關知識可以得到問題的答案,需要掌握直線的點斜式方程:直線經(jīng)過點,且斜率為則:.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC為直角的等腰三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中點,點E在棱AA1上,要使CE⊥平面B1DE,則AE=_____.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{xn}滿足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(n∈N*),證明:當n∈N*時,
(Ⅰ)0<xn+1<xn;
(Ⅱ)2xn+1﹣xn≤ ;
(Ⅲ) ≤xn≤ .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD為直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA=AD=AB=2BC=2,過AD的平面分別交PB,PC于M,N兩點.
(1)求證:MN∥BC;
(2)若M,N分別為PB,PC的中點,
①求證:PB⊥DN;
②求二面角P-DN-A的余弦值.
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【題目】如圖,在三棱錐A﹣BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,點E、F(E與A、D不重合)分別在棱AD,BD上,且EF⊥AD. 求證:(Ⅰ)EF∥平面ABC;
(Ⅱ)AD⊥AC.
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【題目】已知某幾何體的三視圖和直觀圖如圖所示,其正視圖為矩形,左視圖為等腰直角三角形,俯視圖為直角梯形.
(1)證明:平面BCN⊥平面C1NB1;
(2)求二面角C-NB1-C1的余弦值.
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【題目】已知一個口袋有m個白球,n個黑球(m,n∈N* , n≥2),這些球除顏色外全部相同.現(xiàn)將口袋中的球隨機的逐個取出,并放入如圖所示的編號為1,2,3,…,m+n的抽屜內,其中第k次取出的球放入編號為k的抽屜(k=1,2,3,…,m+n).
1 | 2 | 3 | … | m+n |
(Ⅰ)試求編號為2的抽屜內放的是黑球的概率p;
(Ⅱ)隨機變量x表示最后一個取出的黑球所在抽屜編號的倒數(shù),E(X)是X的數(shù)學期望,證明E(X)< .
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【題目】如圖所示,在斜三棱柱ABC—A1B1C1中,點D,D1分別為AC,A1C1上的點.
(1)當的值等于何值時,BC1∥平面AB1D1;
(2)若平面BC1D∥平面AB1D1,求的值.
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【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和公式為Sn=2n2-30n.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式an;(2)求Sn的最小值及對應的n值.
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