Question

【題目】已知一個(gè)口袋有m個(gè)白球，n個(gè)黑球（m，n∈N* ， n≥2），這些球除顏色外全部相同．現(xiàn)將口袋中的球隨機(jī)的逐個(gè)取出，并放入如圖所示的編號(hào)為1，2，3，…，m+n的抽屜內(nèi)，其中第k次取出的球放入編號(hào)為k的抽屜（k=1，2，3，…，m+n）．

1

2

3

…

m+n

（Ⅰ）試求編號(hào)為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率p；
（Ⅱ）隨機(jī)變量x表示最后一個(gè)取出的黑球所在抽屜編號(hào)的倒數(shù)，E（X）是X的數(shù)學(xué)期望，證明E（X）＜ ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設(shè)事件Ai表示編號(hào)為i的抽屜里放的是黑球，
則p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2| ）P（ ）
=
= = ．
證明：（Ⅱ）∵X的所有可能取值為 ，…， ，
P（x= ）= ，k=n，n+1，n+2，…，n+m，
∴E（X）= （ ）=
= ＜ =
= （ ）
= = ，
∴E（X）＜ ．
【解析】（Ⅰ）設(shè)事件Ai表示編號(hào)為i的抽屜里放的是黑球，則p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2| ）P（ ），由此能求出編號(hào)為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率．
（Ⅱ）X的所有可能取值為 ，…， ，P（x= ）= ，k=n，n+1，n+2，…，n+m，從而E（X）= （ ）= ，由此能證明E（X）＜ ．