Question

19．若向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=2，則$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow$方向上投影的最大值是（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． -$\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{6}$
• D． -$\sqrt{6}$

Answer 1

分析 對(duì)條件式子兩邊平方，用|$\overrightarrow$|表示出$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的夾角θ的余弦值，代入投影公式，利用基本不等式得出投影的最大值．

解答 解：∵|2$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=2，|$\overrightarrow{a}$|=2，
∴|$\overrightarrow$|²+4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+16=4，
設(shè)$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的夾角為θ，
則|$\overrightarrow$|²+8|$\overrightarrow$|cosθ+12=0．
∴cosθ=-$\frac{|\overrightarrow{|}^{2}+12}{8|\overrightarrow|}$．
∴$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow$方向上投影為|$\overrightarrow{a}$|cosθ=-$\frac{|\overrightarrow{|}^{2}+12}{4|\overrightarrow|}$=-（$\frac{|\overrightarrow|}{4}$+$\frac{3}{|\overrightarrow|}$）．
∵$\frac{|\overrightarrow|}{4}$+$\frac{3}{|\overrightarrow|}$≥2$\sqrt{\frac{3}{4}}$=$\sqrt{3}$．
∴|$\overrightarrow{a}$|cosθ≤-$\sqrt{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，投影公式，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．