Question

10．已知a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{3{a}_{n}+1}$，則數(shù)列{a_n}的通項為a_n=$\frac{1}{3n-2}$．

Answer 1

分析 將遞推關(guān)系通過取倒數(shù)變形，數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1為首項，以3為公差的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項公式求出，進(jìn)一步求出a_n．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{3{a}_{n}+1}$，
即3a_n+1a_n+a_n+1=a_n，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=3，
∵a₁=1，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項，以3為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+3（n-1）=3n-2，
∴a_n=$\frac{1}{3n-2}$，

點評 本題考查通過構(gòu)造新數(shù)列求數(shù)列的通項、等差數(shù)列的通項公式．