Question

7．已知A，B，P是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$上的不同三點(diǎn)，且AB連線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線PA，PB的斜率乘積${k_{PA}}•{k_{PB}}=\frac{2}{3}$，則該雙曲線的離心率e=（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{15}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{10}}}{2}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出斜率，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，兩式相減，再結(jié)合${k_{PA}}•{k_{PB}}=\frac{2}{3}$，即可求得結(jié)論．

解答 解：由題意，設(shè)A（x₁，y₁），P（x₂，y₂），則B（-x₁，-y₁）
∴k_PA•k_PB=$\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$，
A，B代入兩式相減可得$\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，
∵${k_{PA}}•{k_{PB}}=\frac{2}{3}$，∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，
∴e²=1+$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{5}{3}$，
∴e=$\frac{\sqrt{15}}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，得到$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{2}{3}$是解題的關(guān)鍵．