Question

19．如圖，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，以矩形ABCD的中心為原點(diǎn)，過矩形ABCD的中心平行于BC的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，
（1）求到直線AD、BC的距離之積為1的動點(diǎn)P的軌跡；
（2）若動點(diǎn)P到線段CD中點(diǎn)N的距離比到直線AB的距離大4，求動點(diǎn)P的軌跡方程，作出動點(diǎn)P的大致軌跡；
（3）若動點(diǎn)P到直線AD、BC的距離之積是到直線AB、CD的距離之積的a（a＞0）倍，求動點(diǎn)P的軌跡方程，并指出是怎樣的曲線．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P（x，y），則|y-1|•|y+1|=1，化簡即可得到方程和軌跡；
（2）設(shè)P（x，y），由題意可得$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$=|x+2|+4，化簡整理即可得到所求方程和軌跡；
（3）設(shè)P（x，y），則|y-1|•|y+1|=a|x-2|•|x+2|，化簡整理，對a討論，當(dāng)a=$\frac{1}{4}$時，當(dāng)a=1時，當(dāng)a$≠\frac{1}{4}$且a≠1時，即可所求軌跡方程和軌跡．

解答 解：（1）如圖，設(shè)P（x，y），則|y-1|•|y+1|=1，
化簡得y=±$\sqrt{2}$或y=0．
故動點(diǎn)P的軌跡為三條平行線；
（2）設(shè)P（x，y），由題意可得$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$=|x+2|+4，
即為y²=8（|x+2|+x+2），
即有y²=$\left\{\begin{array}{l}{0，x＜-2}\\{16（x+2），x≥-2}\end{array}\right.$，
作圖如右圖，表示一條拋物線和一條射線．
（3）設(shè)P（x，y），則|y-1|•|y+1|=a|x-2|•|x+2|，
化簡得[（y²-1）+a（x²-4）]•[（y²-1）-a（x²-4）]=0，
即ax²-y²=4a-1或ax²+y²=4a+1（a＞0），
即有當(dāng)a=$\frac{1}{4}$時，表示兩條相交直線和橢圓；
當(dāng)a=1時，表示雙曲線和圓；
當(dāng)a$≠\frac{1}{4}$且a≠1時，表示雙曲線和橢圓．

點(diǎn)評 本題考查軌跡方程的求法，以及方程表示的軌跡，同時考查直線和圓、橢圓和雙曲線的方程，運(yùn)用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵，