Question

【題目】已知函數f（x）=ex﹣a﹣ln（x+a）．
（1）當 時，求f（x）的單調區(qū)間與極值；
（2）當a≤1時，證明：f（x）＞0．

Answer 1

【答案】
（1）解： 時， ， ，

注意到 與 都是增函數，于是f'（x）在 上遞增，

又 ，故 時，f'（x）＜0；故 時，f'（x）＞0，

所以f（x）在 上單調遞減，在 上單調遞增，

當 時，f（x）取得極小值1，f（x）無極大值

（2）解：方法一：當a≤1，x∈（﹣a，+∞）時，x﹣a≥x﹣1，x+a≤x+1，

∴ex﹣a≥ex﹣1，ln（x+a）≤ln（x+1），ex﹣a﹣ln（x+a）≥ex﹣1﹣ln（x+1）

故只需證明當a=1時，f（x）=ex﹣1﹣ln（x+1）＞0．

當a=1時， 在（﹣1，+∞）上單增，

又 ， ，

故f'（x）在（﹣1，+∞）上有唯一零點x0∈（0，1）．

當x∈（﹣1，x0）時，f'（x）＜0；當x∈（x0，+∞）時，f'（x）＞0．

從而x=x0時，f（x）取得最小值．

由f'（x0）=0得： ，ln（x0+1）=1﹣x0，

故 ，

綜上，當a≤1時，f（x）＞0．…（12分）

方法二：先證不等式ex≥x+1與x﹣1≥lnx，

設g（x）=ex﹣x﹣1，則g'（x）=ex﹣1=0x=0，

可得g（x）在（﹣∞，0）上單減，在（0，+∞）上單增，

∴g（x）=ex﹣x﹣1≥g（0）=0，即ex≥x+1；

設h（x）=x﹣1﹣lnx，則 ，

可得h（x）在（0，1）上單增，在（1，+∞）上單減，

∴h（x）=x﹣1﹣lnx≥h（1）=0，即x﹣1≥lnx．

于是，當a≤1時，ex﹣a≥x﹣a+1≥x+a﹣1≥ln（x+a），

注意到以上三個不等號的取等條件分別為：x=a、a=1、x+a=1，它們無法同時取等，

所以，當a≤1時，ex﹣a＞ln（x+a），即f（x）＞0．

【解析】（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間和極值即可；（2）法一：問題轉化為只需證明當a=1時，f（x）=ex﹣1﹣ln（x+1）＞0，根據函數的單調性證明即可；

法二：先證不等式ex≥x+1與x﹣1≥lnx，設g（x）=ex﹣x﹣1，h（x）=x﹣1﹣lnx，根據函數的單調性證明即可．

【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞減．