Question

【題目】如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1所有的棱長均為2，A1B= ，A1B⊥AC．
（Ⅰ）求證：A1C1⊥B1C；
（Ⅱ）求直線AC和平面ABB1A1所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）取AC中點O，連結(jié)A1O，BO，

∵三棱柱ABC﹣A1B1C1所有的棱長均為2，∴BO⊥AC，

∵A1B⊥AC，A1B∩BO=B，A1B面A1BO，BO面A1BO，

∴AC⊥面A1BO，

連結(jié)AB1，交A1B于點M，連結(jié)OM，則B1C∥OM，

又∵OM面A1BO，∴AC⊥OM，

∵A1C1∥AC，A1C1⊥B1C．

（Ⅱ）解：∵A1B⊥AB1，A1B⊥AC，∴A1B⊥面AB1C，

∴面AB1C⊥面ABB1A1，

∵面AB1C∩面ABB1A1=AB1，∴AC在平面ABB1A1的射影為AB1，

∴∠B1AC為直線AC和平面ABB1A1所成的角，

∵AB1=2AM=2 = ，

∴在 Rt△ACB1中，cos = = ，

∴直線AC和平面ABB1A1所成角的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）取AC中點O，連結(jié)A1O，BO，推導(dǎo)出BO⊥AC，A1B⊥AC，從而AC⊥面A1BO，連結(jié)AB1，交A1B于點M，連結(jié)OM，則B1C∥OM，從而AC⊥OM，由A1C1∥AC，能證明A1C1⊥B1C．（Ⅱ）由A1B⊥AB1，A1B⊥AC，得A1B⊥面AB1C，從而面AB1C⊥面ABB1A1，推導(dǎo)出AC在平面ABB1A1的射影為AB1，從而∠B1AC為直線AC和平面ABB1A1所成的角，由此能求出直線AC和平面ABB1A1所成角的余弦值．
【考點精析】利用直線與平面垂直的性質(zhì)和空間角的異面直線所成的角對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知垂直于同一個平面的兩條直線平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．