Question

1．已知數(shù)列{a_n}為正項(xiàng)數(shù)列，a₁=1，且對(duì)?n∈N^*，都有$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$-$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=2（$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=a_n•2^n-1，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$-$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=2（$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$）⇒${{a}_{n+1}}^{2}$-${{a}_{n}}^{2}$=2（a_n+1+a_n），又a_n＞0，可得a_n+1-a_n=2，又a₁=1，即數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，從而可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由b_n=a_n•2^n-1=（2n-1）•2^n-1，知S_n=b₁+b₂+…b_n=1+3×2+5×2²+…+（2n-1）•2^n-1①，2S_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ②，利用錯(cuò)位相減法可求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答 解：（1）∵$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$-$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=2（$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$），
∴${{a}_{n+1}}^{2}$-${{a}_{n}}^{2}$=2（a_n+1+a_n），又a_n＞0，
∴a_n+1-a_n=2，又a₁=1，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（2）∵b_n=a_n•2^n-1=（2n-1）•2^n-1，
∴S_n=b₁+b₂+…b_n=1+3×2+5×2²+…+（2n-1）•2^n-1，①
2S_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ，②
①-②得：-S_n=1+2（2+2²+2³+…+2^n-1-（2n-1）•2ⁿ
=1+2•$\frac{2（1{-2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n-1）•2ⁿ
=（3-2n）•2ⁿ-3，
∴S_n=（2n-3）•2ⁿ+3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，突出考查錯(cuò)位相減法求和，求得數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列是關(guān)鍵，考查推理與運(yùn)算能力，屬于中檔題．