Question

（2012•德陽二模）已知數(shù)列{a_n}中，前n項和為S_n，S_n=n²+2n+λ則{a_n}為等差數(shù)列是λ=O的（　　）

A．充分非必要條件

B．充要條件

C．必要非充分條件

D．非充分非必要條件

Answer 1

分析：先根據(jù)a_n=S_n-S_n-1求得n≥2時，數(shù)列的通項公式，a₁=S₁，由{a_n}為等差數(shù)列，可推出λ=O，反之，由λ=O，可推出{a_n}為等差數(shù)列，由充要條件的定義可得答案．

解答：解：當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n+1，∴a₂=5，a₃=7，
而a₁=S₁=1+2+a=3+λ，∵{a_n}為等差數(shù)列，∴d=7-5=2
∴a₁=a₂-d=3=3+λ，∴λ=0，
即由{a_n}為等差數(shù)列，可推出λ=O；
由λ=O，可知S_n=n²+2n，同樣有，n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n+1，
a₁=S₁=3，代入a_n=2n+1也適合，故a_n=2n+1，（n∈N，n≥1），可得
a_n+1-a_n=2（n+1）+1-2n-1=2，為常數(shù)，即數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，
即由λ=O，可推出{a_n}為等差數(shù)列．
故{a_n}為等差數(shù)列是λ=O的充要條件．
故選B

點評：本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是利用了a_n=S_n-S_n-1．考查了學生對等差數(shù)列通項公式的理解，即充要條件的證明，屬基礎(chǔ)題．