Question

7．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且${S_n}=2{a_n}-2（n∈{N^*}）$，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，滿足${T_n}={n^2}（n∈{N^*}）$．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和D_n．

Answer 1

分析 （I）利用a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，判斷{a_n}為等比數(shù)列，再得出通項(xiàng)公式，同理計(jì)算{b_n}的通項(xiàng)公式；
（II）使用錯(cuò)位相減法求和．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
所以a_n=2a_n-1，
所以{a_n}為公比為2，首項(xiàng)a₁=2的等比數(shù)列，
所以a_n=2ⁿ．
當(dāng)n=1時(shí)，b₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=T_n-T_n-1=2n-1，
當(dāng)n=1時(shí)，上式仍成立，
∴b_n=2n-1．
（Ⅱ）a_n•b_n=（2n-1）•2ⁿ，
∴D_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-3）×2^n-1+（2n-1）×2ⁿ，
∴2D_n=1×2²+3×2³+5×2⁴+…+（2n-3）×2ⁿ+（2n-1）×2ⁿ⁺¹，
兩式相減得：-D_n=2+2×2²+2×2³+…+2×2^n-1-（2n-1）×2ⁿ⁺¹
=2+2×$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n-1）×2ⁿ⁺¹
=（3-2n）2ⁿ⁺¹-6．
∴${D_n}=（2n-3）{2^{n+1}}+6$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，錯(cuò)位相減法數(shù)列求和，屬于中檔題．