Question

1．如圖，四棱錐M-ABCD中，底面ABCD為矩形，MD⊥平面ABCD，且MD=DA=1，E為MA中點．
（1）求證：DE⊥MB；
（2）若DC=2，求二面角B-DE-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以D為原點距離坐標系，求出$\overrightarrow{DE}$，$\overrightarrow{BM}$的坐標，可通過計算$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{BM}$=0得出DE⊥BM；
（2）分別求出兩平面的法向量，計算法向量 夾角，即可得出二面角的大小．

解答 證明：（1）以D為坐標原點，以DA，DC，DM為坐標軸建立空間直角坐標系D-xyz，如圖所示：
設(shè)DC=a，則D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，a，0），M（0，0，1），E（$\frac{1}{2}$，0，$\frac{1}{2}$），
∴$\overrightarrow{DE}$=（$\frac{1}{2}$，0，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{BM}$=（-1，-a，1）．
∴$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{BM}$=$\frac{1}{2}×（-1）$+0×（-a）+$\frac{1}{2}×1$=0，
∴DE⊥BM．
（2）當DC=2時，$\overrightarrow{BE}$=（-$\frac{1}{2}$，-2，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{DE}$=（$\frac{1}{2}$，0，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{DC}$=（0，2，0），
設(shè)平面BDE的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），平面CDE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{x}_{1}-2{y}_{1}+\frac{1}{2}{z}_{1}=0}\\{\frac{1}{2}{x}_{1}+\frac{1}{2}{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{x}_{2}+\frac{1}{2}{z}_{2}=0}\\{2{y}_{2}=0}\end{array}\right.$．
令x₁=1得$\overrightarrow{m}$=（1，-$\frac{1}{2}$，-1），令x₂=1得$\overrightarrow{n}$=（1，0，-1）．
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\frac{3}{2}•\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∴二面角B-DE-C的余弦值為$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題考查了二面角的計算，空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題．