Question

12．若實(shí)數(shù)a，b分別滿足a³-3a²+5a-1=0，b³-3b²+5b-5=0，則a+b=2．

Answer 1

分析 由于已知的兩個(gè)等式結(jié)構(gòu)相似，因此可考慮構(gòu)造函數(shù)．將已知等式變形為（a-1）³+2（a-1）=-2，（b-1）³+2（b-1）=2，構(gòu)造函數(shù)f（x）=x³+2x，f（x）是一個(gè)單調(diào)遞增的奇函數(shù)，從而可求a+b的值．

解答 解：由于已知的兩個(gè)等式結(jié)構(gòu)相似，因此可考慮構(gòu)造函數(shù)．
將已知等式變形為（a-1）³+2（a-1）=-2，（b-1）³+2（b-1）=2，
構(gòu)造函數(shù)f（x）=x³+2x，
∵f（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)，
∵f′（x）=3x²+2＞0，
∴f（x）單調(diào)遞增，
∴f（x）是一個(gè)單調(diào)遞增的奇函數(shù)，
因?yàn)閒（a-1）=-2，f（b-1）=2，
所以f（a-1）=-f（b-1）=f（1-b），
從而有a-1=1-b，a+b=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題以等式為載體，考查構(gòu)造法的運(yùn)用，考查函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知的兩個(gè)等式結(jié)構(gòu)相似來(lái)構(gòu)造函數(shù)，屬于中檔題．